SVD Rechner

- 24. April 2025
| |

Berechnen Sie die Singulärwertzerlegung (SVD) einer Matrix. SVD zerlegt eine Matrix in drei Komponenten: U, Σ und V*. Diese Zerlegung hat zahlreiche Anwendungen in der Statistik, Signalverarbeitung, Bildkompression und mehr.

Matrix Eingabe

Anzeigewahlen

Über die Singulärwertzerlegung

Die Singulärwertzerlegung (SVD) ist eine Faktorisierungstechnik, die eine Matrix A in drei Matrizen zerlegt: U, Σ und V*. Sie hat breite Anwendungen in der Datenwissenschaft, Signalverarbeitung und linearen Algebra.

Mathematische Definition

Für eine m×n Matrix A ist die SVD:

A = UΣV*

wobei:

  • U eine m×m orthogonale Matrix ist (U*U = I)
  • Σ eine m×n diagonale Matrix mit nicht-negativen Singulärwerten ist
  • V* die konjugierte Transponierte einer n×n orthogonalen Matrix V ist (V*V = I)
Anwendungen der SVD
  • Dimensionsreduktion: Hauptkomponentenanalyse (PCA)
  • Bildkompression: Reduzierung des Speicherbedarfs bei Erhaltung der Bildqualität
  • Datenanalyse: Rauschreduzierung und Merkmalsextraktion
  • Empfehlungssysteme: Kollaboratives Filtern für Empfehlungen
  • Pseudoinverse Berechnung: Finden von Lösungen für schlecht konditionierte Systeme
  • Signalverarbeitung: Filtern und Rauschunterdrückung
Eigenschaften der SVD
  • Singulärwerte sind einzigartig und in absteigender Reihenfolge angeordnet
  • Die Anzahl der nicht-null Singulärwerte entspricht dem Rang der Matrix
  • Die Bedingungszahl ist das Verhältnis des größten zum kleinsten Singulärwert
  • SVD kann verwendet werden, um die Pseudoinverse über A⁺ = VΣ⁺U* zu berechnen
  • SVD ist numerisch stabil für Berechnungen

Singulärwertzerlegung Formel:

A = UΣV*

Wo:

  • U = Matrix der linken Singulärvektoren
  • Σ = diagonale Matrix der Singulärwerte
  • V* = Transponierte der Matrix der rechten Singulärvektoren

Was ist der SVD-Rechner?

Der Singulärwertzerlegungs (SVD) Rechner ist ein webbasiertes Tool, das jede Matrix in drei grundlegende Komponenten zerlegt: U, Σ (Sigma) und V*. Dieser Prozess wird in der linearen Algebra häufig für Anwendungen wie Datenkompression, Signalfilterung und das Lösen von Gleichungssystemen verwendet.

Mit dem SVD-Rechner können Sie die Struktur einer Matrix schnell analysieren, ihre dimensionalen Eigenschaften verstehen und wichtige Werte wie die Konditionszahl, den Rang und die Pseudoinverse berechnen.

Warum diesen Rechner verwenden?

Dieses Tool hilft Ihnen:

  • Eine Matrix in U, Σ und V* zur tiefergehenden Analyse zu zerlegen
  • Das Verhalten Ihrer Matrix durch ihre Singulärwerte zu verstehen
  • Eigenschaften wie den Rang der Matrix, die Konditionszahl und die Frobenius-Norm zu erkunden
  • Die Genauigkeit der Zerlegung zu überprüfen
  • Die Moore-Penrose-Pseudoinverse sofort zu berechnen

Wenn Sie mit Bilddaten, Statistiken oder dem Lösen linearer Systeme arbeiten, bietet Ihnen dieser Rechner die benötigte Zerlegung. Er ergänzt andere Tools wie den LU-Zerlegungsrechner, Pseudoinversen-Rechner und Matrix-Inversen-Rechner, indem er sich speziell auf die Analyse von Singulärwerten konzentriert.

So verwenden Sie den SVD-Rechner

Befolgen Sie diese einfachen Schritte:

  1. Wählen Sie die Anzahl der Zeilen und Spalten für Ihre Matrix.
  2. Klicken Sie auf „Matrix erstellen“, um Eingabefelder zu generieren.
  3. Geben Sie Ihre Matrixwerte in die Felder ein.
  4. Wählen Sie Anzeigeoptionen wie Dezimalgenauigkeit und ob Schritt-für-Schritt-Erklärungen angezeigt werden sollen.
  5. Klicken Sie auf „SVD berechnen“, um die Matrix zu verarbeiten.
  6. Überprüfen Sie die resultierenden Matrizen U, Σ und V* sowie abgeleitete Werte wie die Pseudoinverse und die Konditionszahl.

Sie können auch eine Beispielmatrix mit der Schaltfläche „Beispiel laden“ laden, um sofort zu sehen, wie es funktioniert.

Vorteile der Verwendung von SVD

SVD wird in vielen Bereichen eingesetzt und hat praktische Vorteile:

  • Datenkompression: Reduzieren Sie die Datenmenge, ohne wesentliche Merkmale zu verlieren
  • Rauschreduzierung: Eliminieren Sie geringfügige Komponenten in Signalen oder Datensätzen
  • Maschinelles Lernen: Verbessern Sie die Leistung von Algorithmen durch Dimensionsreduktion
  • Matrixlösungen: Berechnen Sie die Pseudoinverse, wenn eine normale Inverse nicht existiert
  • Bildverarbeitung: Komprimieren und rekonstruieren Sie Bilder effizient

Dieses Tool ist besonders nützlich in Kombination mit Matrix-Tools wie dem QR-Faktorisierungsrechner, dem Gauss-Jordan-Eliminierungsrechner und dem Diagonalrechner.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

  • Welche Größe kann ich eingeben?
    Sie können Matrizen von 1×1 bis 10×10 eingeben.
  • Was ist, wenn meine Matrix sehr kleine Werte hat?
    Der Rechner hebt nahezu null Werte hervor, um Ihnen zu helfen, sich auf signifikante Ergebnisse zu konzentrieren.
  • Kann ich sehen, wie die SVD berechnet wird?
    Ja! Aktivieren Sie die Option „Erklärung anzeigen“, um eine Schritt-für-Schritt-Zerlegung der Zerlegung zu sehen.
  • Ist dieses Tool nützlich zum Lernen?
    Definitiv. Die visuelle Zerlegung und die Berechnungsschritte machen es zu einem großartigen Lernhilfsmittel für Schüler und Lehrer.
  • Wie unterscheidet sich dies von anderen Matrix-Tools?
    Während der Matrix-Inversen-Rechner und die LU-Matrixfaktorisierung sich auf direkte Lösungen für lineare Systeme konzentrieren, bietet SVD mehr Einblick in die Struktur und Stabilität der Matrix.

Verwandte Tools, die Sie nützlich finden könnten