Vektorrechner

- 19. Mai 2025

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Berechnen Sie Vektoroperationen wie Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und mehr. Dieser Rechner unterstützt sowohl 2D- als auch 3D-Vektoren und bietet Schritt-für-Schritt-Berechnungsdetails.

Vektor Eingaben

Vektor Dimensionen:

Operation:

Vektor 1

X-Komponente:

Y-Komponente:

Vektor 2

X-Komponente:

Y-Komponente:

Anzeigemöglichkeiten

Dezimalstellen:

Berechnungsschritte anzeigen

Visualisierung anzeigen

Über Vektoroperationen

Vektoren sind mathematische Objekte, die sowohl Betrag als auch Richtung haben. Sie sind grundlegend in der Physik, Ingenieurwissenschaft, Computergrafik und vielen anderen Bereichen. Dieser Rechner unterstützt gängige Vektoroperationen im 2D- und 3D-Raum.

Wichtige Vektoroperationen

Addition: Addiert die entsprechenden Komponenten zweier Vektoren und ergibt einen neuen Vektor.
Subtraktion: Subtrahiert die Komponenten eines Vektors von einem anderen, nützlich zur Bestimmung von Verschiebungsvektoren.
Skalarprodukt: Ein Skalarprodukt zweier Vektoren, das eine einzelne Zahl ergibt, die mit dem Winkel zwischen den Vektoren zusammenhängt.
Kreuzprodukt: Erzeugt einen Vektor, der senkrecht zu beiden Eingangsvektoren steht (nur 3D).
Betrag: Die Länge eines Vektors, berechnet mit dem Satz des Pythagoras.
Normalisierung: Erstellt einen Einheitsvektor (Länge 1), der in die gleiche Richtung wie der ursprüngliche Vektor zeigt.
Winkel zwischen Vektoren: Berechnet mit der Formel für das Skalarprodukt.
Projektion: Projektiert einen Vektor auf einen anderen, nützlich in der Physik und Grafik.
Skalare Multiplikation: Multipliziert einen Vektor mit einem Skalar, ändert dessen Betrag, jedoch nicht die Richtung.

Anwendungen

Vektorberechnungen sind in zahlreichen Bereichen unerlässlich:

Physik (Kräfte, Geschwindigkeiten, Felder)
Ingenieurwesen (Strukturanalyse, elektrische Schaltungen)
Computergrafik und Spieleentwicklung
Robotik und Navigation
Maschinenlernen und Datenanalyse
Geometrie und lineare Algebra

Vektoraddition:

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) $$

Skalarprodukt:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

Kreuzprodukt:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x) $$

Betrag eines Vektors:

$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

Winkel zwischen Vektoren:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right) $$

Vektorprojektion:

$$ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $$

Normalisierung:

$$ \hat{a} = \frac{ \vec{a} }{|\vec{a}|} $$

Skalare Multiplikation:

$$ k\vec{a} = (k \cdot a_x,\ k \cdot a_y,\ k \cdot a_z) $$

Was ist der Vektor-Rechner?

Der Vektor-Rechner ist ein benutzerfreundliches Online-Tool, das Ihnen hilft, grundlegende Vektoroperationen im 2D- und 3D-Raum durchzuführen. Er umfasst Berechnungen wie Vektoraddition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag, Normalisierung, Winkel zwischen Vektoren, Projektion und skalare Multiplikation. Dies macht ihn nützlich für Studenten, Lehrer, Ingenieure und alle, die mit linearer Algebra oder Physik arbeiten.

Wie man den Vektor-Rechner verwendet

Wählen Sie die Anzahl der Dimensionen: 2D oder 3D.
Wählen Sie die Vektoroperation, die Sie aus dem Dropdown-Menü durchführen möchten.
Geben Sie die Vektorkomponenten und den Skalar (falls erforderlich) ein.
Verwenden Sie die Optionen, um die Dezimalgenauigkeit festzulegen, Berechnungsschritte anzuzeigen oder die Vektoren zu visualisieren.
Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, um Ihr Ergebnis zu erhalten.
Klicken Sie auf Zurücksetzen, um eine neue Berechnung zu starten.

Hauptmerkmale

Schritt-für-Schritt-Ergebnisse: Erklärt klar jede Phase der Berechnung.
Unterstützt 2D und 3D: Wählen Sie die Dimensionalität, die zu Ihrem Problem passt.
Interaktive Visualisierung: Sehen Sie Ihre Vektoren und Ergebnisse auf einer Live-Leinwand.
Vielseitige Operationen: Von einfacher Vektoraddition bis hin zu Kreuzprodukten und Projektionen.
Präzisionskontrolle: Passen Sie die Dezimalstellen an Ihre Bedürfnisse an.

Warum diesen Rechner verwenden?

Vektormathematik ist in vielen Studien- und Arbeitsbereichen unerlässlich. Dieser Rechner vereinfacht den Prozess, indem er Ihnen ermöglicht, sich auf das Problem und nicht auf die Mathematik zu konzentrieren. Egal, ob Sie an der Analyse von Kräften in der Physik, an Richtungsdaten in der Computergrafik oder an der Lösung von Problemen in der linearen Algebra arbeiten, dieses Tool liefert schnell genaue Antworten.

Sie können es auch mit anderen Tools wie dem Vektoradditionswerkzeug kombinieren, um zu erkunden, wie Vektoren kombiniert werden, oder ein Vektorbetragswerkzeug verwenden, um die Vektorlänge zu isolieren. Bei der Arbeit an umfassenderen matrixbezogenen Problemen können Sie Tools wie den LU-Zerlegungsrechner, das QR-Faktorisierungswerkzeug und das Matrixinverswerkzeug als hilfreich empfinden.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist eine Größe, die sowohl Betrag (Länge) als auch Richtung hat. Vektoren werden durch Koordinaten im 2D- oder 3D-Raum dargestellt, wie (x, y) oder (x, y, z).

Kann ich dieses Tool für Physikprobleme verwenden?

Ja. Es ist nützlich zur Lösung von Problemen, die Kraft, Geschwindigkeit, Verschiebung und andere vektorbezogene Größen in der Physik betreffen.

Was ist der Unterschied zwischen Skalar- und Kreuzprodukt?

Das Skalarprodukt ergibt einen Skalarwert und bezieht sich auf den Winkel zwischen zwei Vektoren. Das Kreuzprodukt erzeugt einen weiteren Vektor, der senkrecht zu den beiden ursprünglichen ist (nur in 3D).

Was ist, wenn ich nur einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren muss?

Verwenden Sie die Option zur skalaren Multiplikation, um einen Vektor mit einem konstanten Wert zu skalieren (z. B. seine Länge zu verdoppeln).

Kann ich sehen, wie die Berechnung durchgeführt wurde?

Ja. Aktivieren Sie das Kästchen „Berechnungsschritte anzeigen“, bevor Sie berechnen, um eine detaillierte Aufschlüsselung zu sehen.