Unendlicher Reihen Rechner

Kategorie: Folgen und Reihen
- 03. Juli 2025
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Analysieren und visualisieren Sie unendliche Reihen mit diesem interaktiven Rechner. Testen Sie die Konvergenz, berechnen Sie Summen und erkunden Sie das Verhalten von Reihen mit klaren Ergebnissen und Diagrammen.

Reihendefinition

Verwenden Sie 'n' für die Indexvariable (unterstützt +, -, *, /, ^, sin, cos, ln, exp)
n₀
p/r
Für p-Reihen (p), geometrische Reihen (r) usw.

Analyseoptionen

Terme
Für Berechnungen der partiellen Summe
Ziffern

Visualisierungsoptionen

bis
Bereich für das Zeichnen der partiellen Summen

Erweiterte Einstellungen

ε
Schwellenwert für die Konvergenzerkennung

Theorie der unendlichen Reihen

Eine unendliche Reihe ist die Summe von unendlich vielen Termen. Das Verständnis des Konvergenzverhaltens ist entscheidend für Anwendungen in der Analysis, Physik, Ingenieurwissenschaften und mathematischen Analyse.

Arten von Reihen
  • Geometrische Reihe: ∑ar^n = a/(1-r) für |r| < 1
  • p-Reihe: ∑1/n^p konvergiert, wenn p > 1, divergiert, wenn p ≤ 1
  • Harmonische Reihe: ∑1/n divergiert (Fall p = 1)
  • Wechselnde Reihe: ∑(-1)^n·a_n mit speziellen Konvergenzkriterien
  • Potenzenreihe: ∑a_n(x-c)^n mit Konvergenzradius
  • Taylor/Maclaurin-Reihe: Funktionsdarstellungen als Potenzenreihen
Konvergenztests
  • Verhältnis-Test: lim|a_{n+1}/a_n| = L. Konvergiert, wenn L < 1, divergiert, wenn L > 1
  • Wurzel-Test: lim|a_n|^{1/n} = L. Konvergiert, wenn L < 1, divergiert, wenn L > 1
  • Integral-Test: Vergleichen mit dem uneigentlichen Integral der entsprechenden Funktion
  • Vergleichstest: Vergleichen mit bekannten konvergenten/divergenten Reihen
  • Grenzvergleichstest: Verwenden des Grenzwerts des Verhältnisses mit der Vergleichsreihe
  • Wechselnde Reihen-Test: Wenn die Terme abnehmen und sich 0 nähern, konvergiert die Reihe
Wichtige Reihenwerte
  • Basel-Problem: ∑1/n² = π²/6 ≈ 1.6449
  • Riemann-Zeta: ζ(s) = ∑1/n^s für verschiedene Werte von s
  • Exponential: e^x = ∑x^n/n! (konvergiert für alle x)
  • Sinusreihe: sin(x) = ∑(-1)^n·x^{2n+1}/(2n+1)!
  • Cosinusreihe: cos(x) = ∑(-1)^n·x^{2n}/(2n)!
  • Natürlicher Logarithmus: ln(1+x) = ∑(-1)^{n+1}·x^n/n für |x| < 1
Anwendungen
  • Numerische Analyse: Näherung von Funktionen und Integralen
  • Physik: Wellenfunktionen, Quantenmechanik, statistische Mechanik
  • Ingenieurwesen: Signalverarbeitung, Regelungssysteme, Fourier-Analyse
  • Wirtschaft: Barwertberechnungen, Wachstumsmodelle
  • Informatik: Algorithmusanalyse, Erzeugende Funktionen
  • Wahrscheinlichkeit: Moment erzeugende Funktionen, charakteristische Funktionen
Konvergenzverhalten
  • Absolute Konvergenz: ∑|a_n| konvergiert ⟹ ∑a_n konvergiert
  • Bedingte Konvergenz: ∑a_n konvergiert, aber ∑|a_n| divergiert
  • Uniforme Konvergenz: Wichtig für termweise Operationen
  • Konvergenzgeschwindigkeit: Wie schnell sich partielle Summen dem Grenzwert nähern
  • Konvergenzradius: Bereich, in dem die Potenzenreihe konvergiert

Haftungsausschluss: Dieser Rechner bietet numerische Näherungen und theoretische Analysen unendlicher Reihen. Die Ergebnisse unterliegen den Einschränkungen der Berechnungsgenauigkeit und spiegeln möglicherweise nicht die genauen mathematischen Werte wider. Für rigorose Beweise und detaillierte Analysen konsultieren Sie mathematische Literatur und überprüfen Sie die Ergebnisse unabhängig. Einige Reihen erfordern möglicherweise fortgeschrittene Techniken, die über den Umfang dieses Rechners hinausgehen.