Divergenzrechner

Divergenzrechner: Erklärung und Nutzungshinweise

Der Divergenzrechner ist ein interaktives Werkzeug, das entwickelt wurde, um die Divergenz eines dreidimensionalen Vektorfeldes zu berechnen. Es bietet eine intuitive Möglichkeit, die Divergenz eines Vektorfeldes ( \mathbf{F}(x, y, z) ) zu berechnen und zu visualisieren, indem sowohl die symbolische Darstellung der Divergenz als auch deren Auswertung an bestimmten Punkten bereitgestellt wird. Darüber hinaus generiert das Tool eine grafische Visualisierung des Vektorfeldes, um den Benutzern tiefere Einblicke in dessen Verhalten zu ermöglichen.

Was ist Divergenz?

Divergenz ist eine skalare Größe, die die Rate misst, mit der sich ein Vektorfeld an einem bestimmten Punkt ausbreitet oder zusammenzieht. Mathematisch wird die Divergenz eines Vektorfeldes ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) gegeben durch:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Wenn die Divergenz positiv ist, breitet sich das Vektorfeld an diesem Punkt aus.
• Wenn die Divergenz negativ ist, zieht sich das Vektorfeld an diesem Punkt zusammen.
• Wenn die Divergenz null ist, wird das Feld an diesem Punkt als solenoidal bezeichnet.

Dieser Rechner bietet sowohl die symbolische Divergenz als auch die Möglichkeit, sie numerisch an bestimmten Punkten auszuwerten.

Funktionen des Divergenzrechners

• Symbolische Divergenz: Berechnet automatisch die partiellen Ableitungen der Vektorfeldkomponenten und erstellt die Divergenzgleichung.
• Punktbewertung: Bewertet die Divergenz numerisch an einem bestimmten Punkt ( (x, y, z) ).
• Grafische Visualisierung: Zeigt eine 3D-Darstellung des Vektorfeldes mit den interaktiven 3D-Plotting-Funktionen von Plotly an.
• Dropdown-Beispiele: Lädt schnell vordefinierte Beispiele von Vektorfeldern zur Erkundung.
• Fehlerbehandlung: Stellt sicher, dass ungültige oder unvollständige Eingaben elegant behandelt werden.

So verwenden Sie den Divergenzrechner

Befolgen Sie diese einfachen Schritte, um den Rechner effektiv zu nutzen:

1. Geben Sie das Vektorfeld ein:
2. Geben Sie die Komponenten ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) und ( R(x, y, z) ) des Vektorfeldes in die entsprechenden Eingabefelder ein.

3. Zum Beispiel:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Wählen Sie ein Beispiel aus:

5. Verwenden Sie das Dropdown-Menü, um vordefinierte Beispiele von Vektorfeldern zu laden.

6. Geben Sie einen Bewertungspunkt an (optional):

7. Wenn Sie die Divergenz an einem bestimmten Punkt bewerten möchten, geben Sie die Werte für ( x ), ( y ) und ( z ) in die entsprechenden Felder ein.

8. Klicken Sie auf "Berechnen":

9. Der Rechner wird:

   • Die symbolische Divergenz berechnen.
   • Die Divergenz am angegebenen Punkt (sofern angegeben) auswerten.
   • Eine schrittweise Aufschlüsselung der Berechnung anzeigen.
   • Eine 3D-Visualisierung des Vektorfeldes generieren.

10. Löschen Sie die Eingaben:

11. Verwenden Sie die "Löschen"-Taste, um den Rechner zurückzusetzen.

Beispiel-Durchlauf

Beispiel Vektorfeld:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Geben Sie die Komponenten ein:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Klicken Sie auf "Berechnen." Der Rechner wird:

6. Die partiellen Ableitungen berechnen:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Diese kombinieren, um zu finden: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Wenn die Bewertungswerte ( (x=1, y=1, z=0) ) angegeben sind, wird das Ergebnis ausgewertet als: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualisieren Sie das 3D-Vektorfeld, das im Diagramm generiert wurde.

FAQ

1. Welche Eingabeformate werden für die Komponenten des Vektorfeldes unterstützt?

Der Rechner unterstützt Funktionen in Bezug auf ( x ), ( y ) und ( z ). Beispiele sind: - Polynomfunktionen: ( x^2, y^2 + z ) - Trigonometrische Funktionen: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Exponentialfunktionen: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Was passiert, wenn ich keinen Bewertungspunkt angebe?

Wenn kein Bewertungspunkt angegeben ist, zeigt der Rechner nur die symbolische Divergenzgleichung an.

3. Kann ich diesen Rechner für 2D-Vektorfelder verwenden?

Ja, lassen Sie einfach die ( R(x, y, z) )-Komponente leer oder setzen Sie sie auf null.

4. Wie wird die 3D-Vektorfeldvisualisierung generiert?

Der Rechner verwendet Plotly, um ein interaktives 3D-Vektorfelddiagramm zu erstellen. Jeder Pfeil repräsentiert die Richtung und Größe des Feldes an einem bestimmten Punkt.

5. Was ist, wenn meine Eingabe einen Fehler hat?

Der Rechner überprüft auf Fehler wie fehlende Komponenten oder ungültige Ausdrücke. Eine beschreibende Fehlermeldung wird Ihnen helfen, das Problem zu beheben.

Zusammenfassung

Der Divergenzrechner vereinfacht den Prozess der Analyse von Vektorfeldern, indem er die Berechnung der Divergenz automatisiert und eine klare visuelle Darstellung bereitstellt. Egal, ob Sie Student, Lehrer oder Fachmann sind, dieses Tool ist perfekt, um Einblicke in das Verhalten von Vektorfeldern im dreidimensionalen Raum zu gewinnen. Beginnen Sie jetzt mit der Erkundung, um das volle Potenzial dieses leistungsstarken Rechners freizuschalten!