Inverse Ableitungsrechner
Kategorie: AnalysisWas ist eine inverse Ableitung?
Die inverse Ableitung hilft dabei, die Ableitung der Inversen einer gegebenen Funktion zu berechnen. Für eine Funktion ( f(x) ) wird die Ableitung ihrer Inversen, ( f^{-1}(x) ), mit der Formel bestimmt:
( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )
Diese Formel ergibt sich aus der Beziehung ( f(f^(-1)(x)) = x ). Durch Ableiten beider Seiten bezüglich ( x ) erhalten wir:
( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )
Wenn wir nach ( (f^(-1)(x))' ) umstellen, erhalten wir:
( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )
Dieses Konzept ist besonders nützlich in der Analysis, um zu analysieren, wie schnell sich eine inverse Funktion an einem bestimmten Punkt ändert.
Funktionen des Rechners für inverse Ableitungen
- Detaillierte Schritte: Geben Sie eine Funktion und einen ( x )-Wert ein, um eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung zu sehen.
- Beispiel-Funktionen: Testen Sie den Rechner mit vorinstallierten Funktionen wie ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ) oder ( f(x) = \ln(x) ).
- Grafische Visualisierung: Der Rechner plottet sowohl die Funktion als auch ihre inverse Ableitung.
So verwenden Sie den Rechner für inverse Ableitungen
- Geben Sie eine Funktion ein: Geben Sie die Funktion ( f(x) ) ein, deren inverse Ableitung Sie berechnen möchten. Zum Beispiel:
x^2 + 1
odere^x
. - Geben Sie einen ( x )-Wert an: Geben Sie den Punkt ein, an dem Sie die Ableitung der inversen Funktion berechnen möchten.
- Klicken Sie auf Berechnen: Sehen Sie sich das Ergebnis zusammen mit einer detaillierten Erklärung der Berechnung an.
- Erforschen Sie vorinstallierte Beispiele: Verwenden Sie das Dropdown-Menü, um Beispiel-Funktionen auszuprobieren und zu sehen, wie der Rechner funktioniert.
Beispiel-Durchlauf
Angenommen, Sie möchten die inverse Ableitung von ( f(x) = x^2 + 1 ) bei ( x = 2 ) berechnen:
- Die Ableitung von ( f(x) ) ist:
( f'(x) = 2 * x )
- Bewerten Sie ( f'(2) ):
( f'(2) = 2 * 2 = 4 )
- Verwenden Sie die Formel für die inverse Ableitung:
( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )
Bei ( x = 2 ) ist die inverse Ableitung:
( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )
Wichtige Vorteile der Verwendung dieses Rechners
- Berechnen Sie schnell die inverse Ableitung komplexer Funktionen.
- Visualisieren Sie die Funktion und ihre inverse Ableitung in einem interaktiven Diagramm.
- Verstehen Sie den Prozess durch Schritt-für-Schritt-Lösungen.
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