Simplex-Methode Rechner

Kategorie: Algebra und Allgemeines
- February 22, 2025
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Ergebnisse

Optimale Lösung:

Endgültiges Tableau:

Berechnungsschritte:

Grafische Darstellung:

Was ist die Simplex-Methode?

Die Simplex-Methode ist ein mathematischer Algorithmus, der zur Lösung von Problemen der linearen Programmierung verwendet wird. Es handelt sich um eine leistungsstarke Technik zur Optimierung einer linearen Zielfunktion unter Berücksichtigung einer Reihe von linearen Ungleichheits- oder Gleichheitsbedingungen. Die Methode findet die optimale Lösung, indem sie durch zulässige Lösungen an den Ecken des zulässigen Bereichs iteriert, bis der beste Wert für die Zielfunktion erreicht ist.

Probleme der linearen Programmierung treten häufig in realen Szenarien wie Ressourcenallokation, Produktionsplanung, Transport und Finanzen auf. Die Simplex-Methode bietet einen systematischen Ansatz zur effizienten Lösung dieser Probleme.

Merkmale des Simplex-Methode Rechners

  • Ermöglicht es den Benutzern, eine lineare Zielfunktion einzugeben (z. B. 3x_1 + 4x_2).
  • Unterstützt Ungleichheits- und Gleichheitsbedingungen mit Optionen für ≤, = und ≥.
  • Ermöglicht es den Benutzern, zwischen Maximierungs- und Minimierungszielen zu wählen.
  • Bietet zwei Lösungsansätze: Big M-Methode und Zwei-Phasen-Methode.
  • Zeigt Schritt-für-Schritt-Berechnungen an, einschließlich Zwischen-Tabellen und der endgültigen Tabelle.
  • Visualisiert den zulässigen Bereich und die optimale Lösung für 2D-Probleme.

So verwenden Sie den Simplex-Methode Rechner

  1. Geben Sie die Zielfunktion in das bereitgestellte Feld ein (z. B. 3x_1 + 4x_2).
  2. Geben Sie an, ob das Problem ein Maximierungs- oder Minimierungsproblem ist, indem Sie das Kästchen "Maximieren?" ankreuzen oder nicht.
  3. Geben Sie Bedingungen in Form von linearen Ungleichungen oder Gleichungen ein. Zum Beispiel:
    • 2x_1 + x_2 ≤ 100
    • x_1 + 2x_2 = 80
    Verwenden Sie die Schaltfläche "+ Bedingung hinzufügen", um zusätzliche Bedingungen hinzuzufügen.
  4. Wählen Sie die Lösungsart (Big M-Methode oder Zwei-Phasen-Methode) aus dem Dropdown-Menü.
  5. Klicken Sie auf "Berechnen", um das Problem zu lösen. Die Ergebnisse, einschließlich der optimalen Lösung, der endgültigen Tabelle und der Visualisierung, werden angezeigt.
  6. Wenn Sie die Felder zurücksetzen und von vorne beginnen möchten, klicken Sie auf die Schaltfläche "Löschen".

Beispielverwendung

Ziel: Maximieren \(3x_1 + 4x_2\)

Bedingungen:

  • \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
  • \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
  • \(x_1, x_2 ≥ 0\)

Schritte:

  • Konvertieren Sie die Ungleichungen in Gleichungen, indem Sie Schlupfvariablen \(s_1\) und \(s_2\) hinzufügen.
  • Richten Sie die anfängliche Simplex-Tabelle mit den Koeffizienten der Variablen und Bedingungen ein.
  • Lösen Sie die Tabelle iterativ durch Pivotieren, bis die optimale Lösung erreicht ist.
  • Die endgültige Lösung wird zusammen mit dem maximalen Wert der Zielfunktion angezeigt.

Ergebnis: \(x_1 = 20\), \(x_2 = 30\), und der maximale Wert ist \(180\).

FAQs

  • Was ist lineare Programmierung?
    Lineare Programmierung ist eine mathematische Methode, die verwendet wird, um das bestmögliche Ergebnis (wie maximalen Gewinn oder minimalen Kosten) in einem gegebenen mathematischen Modell zu bestimmen, in dem die Beziehungen linear sind.
  • Was sind die Big M-Methode und die Zwei-Phasen-Methode?
    Die Big M-Methode fügt künstliche Variablen mit großen Strafen (bezeichnet als \(M\)) hinzu, um die Zulässigkeit sicherzustellen, während die Zwei-Phasen-Methode das Problem in zwei Phasen löst: zuerst eine zulässige Lösung finden und dann die Zielfunktion optimieren.
  • Was bewirkt das Kontrollkästchen "maximieren"?
    Wenn dieses Kästchen angekreuzt ist, wird das Problem als Maximierungsproblem gelöst. Wenn es nicht angekreuzt ist, geht der Rechner von einem Minimierungsproblem aus.
  • Kann der Rechner nicht-lineare Probleme bearbeiten?
    Nein, der Rechner ist speziell für Probleme der linearen Programmierung konzipiert, bei denen sowohl die Zielfunktion als auch die Bedingungen linear sind.
  • Was passiert, wenn das Problem unbeschränkt ist?
    Wenn die Lösung unbeschränkt ist, zeigt der Rechner eine Nachricht an, die darauf hinweist, dass das Problem keine endliche optimale Lösung hat.

Vorteile der Verwendung des Simplex-Methode Rechners

  • Spart Zeit, indem mühsame manuelle Berechnungen automatisiert werden.
  • Bietet eine Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselung, die es zu einem wertvollen Lernwerkzeug für Studenten macht.
  • Visualisiert zulässige Bereiche und Lösungen für ein besseres Verständnis.
  • Bewältigt komplexe Probleme effizient mit mehreren Bedingungen und Variablen.