Inverse Ableitungsrechner

Kategorie: Analysis
- 19. Mai 2025
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Finden Sie die Antiderivativ (unbestimmtes Integral) einer Funktion. Dieser Rechner hilft Ihnen, die ursprüngliche Funktion aus ihrer Ableitung zu bestimmen.

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Über Antiderivate und Integration

Ein Antiderivat (oder unbestimmtes Integral) einer Funktion f(x) ist eine Funktion F(x), deren Ableitung f(x) ist. Mit anderen Worten, wenn F'(x) = f(x), dann ist F(x) ein Antiderivat von f(x).

Wichtige Eigenschaften von Antiderivaten
  • Wenn F(x) ein Antiderivat von f(x) ist, dann ist F(x) + C ebenfalls ein Antiderivat, wobei C eine beliebige Konstante ist
  • Das Antiderivat einer Summe ist die Summe der Antiderivate: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Regel für konstante Vielfache: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, wobei k eine Konstante ist
  • Potenzenregel: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, wobei n ≠ -1
  • Integration von e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • Integration von 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Anwendungen der Integration

Antiderivate und Integration haben zahlreiche Anwendungen in:

  • Berechnung der Fläche unter Kurven und zwischen Kurven
  • Berechnung von Volumina dreidimensionaler Objekte
  • Lösung von Differentialgleichungen
  • Physikalische Anwendungen: Arbeit, Energie und Bewegung
  • Wahrscheinlichkeit und Statistik
  • Ingenieurwesen: Spannungsanalyse, Strömungsdynamik usw.

Was ist eine inverse Ableitung?

Die inverse Ableitung hilft dabei, die Ableitung der Inversen einer gegebenen Funktion zu berechnen. Für eine Funktion ( f(x) ) wird die Ableitung ihrer Inversen, ( f^{-1}(x) ), mit der Formel bestimmt:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Diese Formel ergibt sich aus der Beziehung ( f(f^(-1)(x)) = x ). Durch Ableiten beider Seiten bezüglich ( x ) erhalten wir:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

Wenn wir nach ( (f^(-1)(x))' ) umstellen, erhalten wir:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Dieses Konzept ist besonders nützlich in der Analysis, um zu analysieren, wie schnell sich eine inverse Funktion an einem bestimmten Punkt ändert.

Funktionen des Rechners für inverse Ableitungen

  • Detaillierte Schritte: Geben Sie eine Funktion und einen ( x )-Wert ein, um eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung zu sehen.
  • Beispiel-Funktionen: Testen Sie den Rechner mit vorinstallierten Funktionen wie ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ) oder ( f(x) = \ln(x) ).
  • Grafische Visualisierung: Der Rechner plottet sowohl die Funktion als auch ihre inverse Ableitung.

So verwenden Sie den Rechner für inverse Ableitungen

  1. Geben Sie eine Funktion ein: Geben Sie die Funktion ( f(x) ) ein, deren inverse Ableitung Sie berechnen möchten. Zum Beispiel: x^2 + 1 oder e^x.
  2. Geben Sie einen ( x )-Wert an: Geben Sie den Punkt ein, an dem Sie die Ableitung der inversen Funktion berechnen möchten.
  3. Klicken Sie auf Berechnen: Sehen Sie sich das Ergebnis zusammen mit einer detaillierten Erklärung der Berechnung an.
  4. Erforschen Sie vorinstallierte Beispiele: Verwenden Sie das Dropdown-Menü, um Beispiel-Funktionen auszuprobieren und zu sehen, wie der Rechner funktioniert.

Beispiel-Durchlauf

Angenommen, Sie möchten die inverse Ableitung von ( f(x) = x^2 + 1 ) bei ( x = 2 ) berechnen:

  1. Die Ableitung von ( f(x) ) ist:

( f'(x) = 2 * x )

  1. Bewerten Sie ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Verwenden Sie die Formel für die inverse Ableitung:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Bei ( x = 2 ) ist die inverse Ableitung:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Wichtige Vorteile der Verwendung dieses Rechners

  • Berechnen Sie schnell die inverse Ableitung komplexer Funktionen.
  • Visualisieren Sie die Funktion und ihre inverse Ableitung in einem interaktiven Diagramm.
  • Verstehen Sie den Prozess durch Schritt-für-Schritt-Lösungen.