Simpsons Regel Rechner

Kategorie: Analysis
- 19. September 2025
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Berechnen Sie bestimmte Integrale numerisch mit der Simpson-Regel. Dieser Rechner approximiert das Integral einer Funktion über ein angegebenes Intervall, indem parabolische Bögen durch äquidistante Punkte angepasst werden.

Integrationsparameter

Verwenden Sie x als Variable. Mathematische Funktionen: sin, cos, tan, log, sqrt usw.
Muss eine gerade Zahl für die Simpson-Regel sein

Visualisierungsoptionen

Verständnis der Simpson-Regel

Die Simpson-Regel ist ein numerisches Annäherungsverfahren für bestimmte Integrale. Sie approximiert die Funktion mit quadratischen Polynomen, was eine bessere Genauigkeit als einfachere Methoden wie die Trapezregel bietet.

Die Formel
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Wo:

  • h = (b - a) / n ist die Breite jedes Teilintervalls
  • n ist die Anzahl der Teilintervalle (muss gerade sein)
  • xi = a + i·h sind die gleichmäßig verteilten Punkte
Fehlerterm

Die Simpson-Regel hat einen Fehlerterm von O(h5), was bedeutet, dass der Fehler proportional zu h4 ist. Genauer:

\text{Fehler} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Wo f(4)(ξ) die vierte Ableitung von f an einem Punkt ξ zwischen a und b ist.

Vergleich mit anderen Methoden
  • Mittelpunktsregel: Fehler ist O(h3), weniger genau als die Simpson-Regel
  • Trapezregel: Fehler ist O(h3), weniger genau als die Simpson-Regel
  • Simpson's 3/8 Regel: Ähnliche Genauigkeit wie die Simpson-Regel
  • Gauss-Quadratur: Genauere Ergebnisse für bestimmte Funktionsklassen

Haftungsausschluss: Dieser Rechner bietet numerische Annäherungen, die Fehler enthalten können, insbesondere bei Funktionen mit Singularitäten oder schnellen Oszillationen. Überprüfen Sie wichtige Ergebnisse immer mit alternativen Methoden oder analytischen Lösungen, wenn möglich.

Was ist der Simpson-Regel Rechner?

Der Simpson-Regel Rechner ist ein interaktives Tool, das den Wert eines bestimmten Integrals schätzt. Anstatt komplexe Integrale von Hand zu lösen, wendet dieser Rechner ein zuverlässiges numerisches Verfahren an, um die Fläche unter einer Kurve zu approximieren, bekannt als Simpson-Regel. Es ist besonders nützlich für Funktionen, die analytisch schwer oder unmöglich zu integrieren sind.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Dieses Verfahren teilt das Intervall in eine gerade Anzahl von Teilen und passt Parabeln durch Punkte auf dem Graphen der Funktion an. Es liefert eine bessere Genauigkeit als die Trapezregel oder die Mittelwertregel.

Warum es verwenden?

Egal, ob Sie Student, Lehrer, Ingenieur oder neugieriger Lernender sind, der Simpson-Regel Rechner hilft Ihnen:

  • Bestimmte Integrale schnell zu schätzen
  • Zu visualisieren, wie die Fläche unter der Kurve approximiert wird
  • Den Einfluss der Änderung der Intervallanzahl zu verstehen
  • Fehleranalysen durchzuführen und das Konvergenzverhalten zu betrachten

Er ergänzt auch andere Werkzeuge wie den Integralrechner zum Lösen bestimmter oder unbestimmter Integrale und den Antiderivaten-Rechner zum Finden von Antiderivaten. Wenn Sie mit mehrdimensionalen Funktionen arbeiten, schauen Sie sich den Partiellen Ableitungsrechner an, um partielle Ableitungen zu berechnen oder mehrdimensionale Differenzierung zu analysieren.

Wie man den Rechner verwendet

Befolgen Sie diese einfachen Schritte, um eine genaue Annäherung Ihres bestimmten Integrals zu erhalten:

  1. Geben Sie die Funktion, die Sie integrieren möchten, in das Eingabefeld ein (verwenden Sie x als Variable).
  2. Setzen Sie die unteren und oberen Grenzen für das Integrationsintervall.
  3. Wählen Sie die Anzahl der Intervalle (muss eine gerade Zahl sein).
  4. Aktivieren Sie optional die Funktionsdarstellung und die Visualisierungen der Approximation.
  5. Klicken Sie auf "Integral berechnen", um das Ergebnis, das Diagramm und die Aufschlüsselung anzuzeigen.

Sie können den Rechner jederzeit mit der Schaltfläche "Zurücksetzen" zurücksetzen.

Häufige Anwendungsfälle

Verwenden Sie den Simpson-Regel Rechner, um:

  • Die Fläche unter Kurven zu approximieren, wenn das genaue Integral schwer zu berechnen ist
  • Numerische Ergebnisse mit genauen Lösungen von einem Integralrechner zu vergleichen
  • Die Konvergenz durch Erhöhung der Intervalle zu analysieren
  • Einblicke in das Fehlerverhalten bei unterschiedlichen Intervallzahlen zu gewinnen

Es ist besonders nützlich, um Arbeiten zu überprüfen oder Ergebnisse von Werkzeugen wie dem Zweiten Ableitungsrechner oder dem Richtungsableitungsrechner in der mehrdimensionalen Analyse zu ergänzen.

FAQs

F: Welche Art von Funktionen kann ich eingeben?
Jede Funktion, die x als Variable verwendet. Häufige Ausdrücke sind Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmen. Zum Beispiel: x^2 + sin(x).

F: Warum muss die Anzahl der Intervalle gerade sein?
Die Simpson-Regel basiert auf dem Anpassen von Parabeln über Paare von Intervallen. Eine ungerade Anzahl von Intervallen würde diese Paarung brechen.

F: Wie genau ist diese Methode?
Die Simpson-Regel ist für glatte Funktionen sehr genau und verbessert sich mit mehr Intervallen. Der Rechner zeigt auch Fehler- und Konvergenzinformationen an.

F: Was ist, wenn meine Funktion an einem Punkt undefiniert ist?
Vermeiden Sie Funktionen mit Singularitäten oder Diskontinuitäten innerhalb des Intervalls. Diese können ungenaue Ergebnisse oder Bewertungsfehler verursachen.

Abschließende Gedanken

Dieser Rechner ist ein hilfreicher Begleiter beim Studium der Analysis und beim Lösen von realen Problemen, die Integration betreffen. Er ist Teil einer breiteren Suite von mathematischen Werkzeugen wie dem Ableitungsrechner, Inverse Ableitungsrechner und Grenzwertrechner, die das Lernen und Anwenden fortgeschrittener mathematischer Konzepte vereinfachen.